November 10, 2007 Sin comentarios

El MAS (3): Resolviendo la ecuación diferencial

Ya sabemos entonces, que una de las soluciones para la ecuación diferencial \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-\sqrt{\frac{k}{m}}x es A\cos(\omega t+\varphi). Ahora veremos un modo más “elegante” de deducirla.

Primero, supongamos que se agrega un término más a la ecuación, una fuerza que sea proporcional a la velocidad, pero de sentido opuesto. Este tipo de fuerza es el que típicamente se encuentra cuando se estudia el rozamiento de un fluído (aire, agua, aceite, etc.) con un cuerpo. La ecuación a resolver quedaría, entonces:

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \frac{k}{m} x

\ddot{x}=-\gamma \dot{x} - \omega^2 x

Sin entrar en detalles, se puede ver que lo más práctico es proponer una solución exponencial, y estar preparados para que las soluciones sean complejas (de esta forma se recupera el coseno de la resolución anterior.) Así que proponemos una solución de la forma x(t)=Ae^{\alpha t}. Si reemplazamos en la ecuación diferencial, lo que obtenemos es:

A\alpha^2 e^{\alpha t} + \gamma A \alpha e^{\alpha t} + \omega A e^{\alpha t} = 0

En esta expresión se puede cancelar el término A e^{\alpha t} por lo que queda lo que se denomina la ecuación característica de la ecuación diferencial:

\alpha^2 + \gamma \alpha + \omega = 0

Lo que se quiere despejar es \alpha lo cual resulta muy sencillo y se obtiene:

\displaystyle \alpha = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-4\omega^2}}{2}

Es fácil ver que se pueden obtener 3 casos: cuando la raíz es un número real, cuando es 0 y cuando es un número imaginario. A estos 3 casos se los denomina: sobreamortiguado, amortiguamiento crítico y subamortiguado. En la próxima entrega estudiaremos cada uno de ellos.

 

[tags]movimiento,oscilatorio,armonico,amortiguado,subamortiguado,crítico,ecuación,diferencial[/tags]

April 24, 2007 Sin comentarios

Multar en base a un Teorema

En CPI encontré un divertido artículo sobre cómo funcionan las cámaras fotográficas que multan a los conductores que van a exceso de velocidad.

El que más me llamó la atención y quiero compartir aquí, es un sistema que aplica el teorema de Lagrange (o del Valor medio).

Teorema de Lagrange Básicamente lo que se dice es que si entre dos puntos (a y b) la velocidad media (es decir la distancia total recorrida sobre el tiempo total empleado) es superior a la máxima permitida, entonces forzosamente en algún punto del camino se superó la velocidad máxima. Leer el resto de la entrada »

December 29, 2006 Sin comentarios

Contra-prueba del último teorema de Fermat?

Será una contra-prueba del último teorema de Fermat?

Fermat Last Theorem - video powered by Metacafe
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December 9, 2006 Sin comentarios

Nuevo número primo probable

En teoría de números, un número primo probable (PRP, en inglés) es un número que no se sabe con certeza que sea probable, pero cumple con una serie de requisitos que los números primos deben satisfacer:

Desde hace dos días se propuso un nuevo número primo probable:

Photobucket - Video and Image Hosting

Fue propuesto por Borys Jaworski y cumple con las propiedades arriba elencadas. Este número tiene 339.333 cifras y es el número primo probable más grande hasta ahora.

En este sitio se encuentra una lista con los 10.000 números primos probables más grandes, su descubridor y alguna que otra información sobre el número.

Una de las aplicaciones más inmediatas de estos descubrimientos es a la criptografía

November 23, 2006 Sin comentarios

Multiplicación Gráfica

En este video se explica un curioso método para realizar multiplicaciones. Se trazan líneas para cada número, y en base al número de cruces de líneas se obtiene el resultado.
El video es bastante auto-explicativo:

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